3.3 Transformada de Laplace de funciones básicas.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).




Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto

Seno

  

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

NT: en la demostración recordar que e ^{− st} debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite lim(f(t) / e ^{− st},t = 0..infinto) (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo    (que crece más rápido que e ^{− st}) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que ,no es una función de orden exponencial.

Integración

F(w)=(cosw)

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

 
Nota: u(t) es la función escalón unitario


Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Tabla de las transformadas de Laplace selectas


La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace es la de la suma de la transformada de Laplace de cada término.

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 ⁻ , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t).