3.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace.

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

Si una función f(t) es continua por partes en [0, ¥) y de orden exponencial a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > a



Función continua por partes



Se dice que una función f(t) es continua por partes en un intervalo [a, b] si f(t) es continua en todo el intervalo excepto en algún número finito de puntos.

Condiciones suficientes para la existencia de L {F(t)} No es necesario que con­verja la integral que define a la transformada de Laplace; por ejemplo, ni L {1/t} ni Le^t2} existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de T{f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, 00), y que f sea de orden exponencial cuando t > T. Recuérdese qué una función es continua por tramos en si, en cualquier intervalo 0 <_ a <_ t:5 b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto A continuación definiremos el concepto de orden exponencial.

Orden exponencial

Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, tales que 1 f(t)j ≤  Me` para todo t > T.

Si f es una función creciente, la condición Jf(t)J < Mec ,t > T tan sólo expresa que la gráfica de f en el intervalo (T, oo) no crece con más rapidez que la gráfica de la función exponencial Me^ct, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = e –^t  y f(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, para t  > 0 porque, respectivamente

En la figura 7.4 se comparan las gráficas en el intervalo [0, oo).

Una función como f(t) = e^t2 no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0.

Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0,

equivale a demostrar que es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de L'Hópital.

 

Una función f(t) es continua por partes en [0, ¥) si f(t) es continua por partes en el intervalo [0, N] para todo N > 0





Función de orden exponencial



Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si la igualdad



Se cumple para al menos un valor de s. Se dice también que el orden a de la función exponencial es el menor valor de s que cumple con (A)

Geométricamente una función de orden exponencial es aquella que NO crece más rápido que una función eat