3.4 Transformada de Laplace de Funciones Definidas Por Tramos

COMPORTAMIENTO DE F(S) CUANDO               S es infinita

Si f es continua por partes en  y de orden exponencial y

 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN CONTINUA POR PARTES

SOLUCIÓN: La función f mostrada en la figura 7.6, es continua por partes, y de orden exponencial para t>0. Puesto que f se define en dos partes  

Esto se expresa como la suma de dos integrales de la siguiente manera:

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede   ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas. 

Decimos que una función    f : [a,b] -->    R    es continua a trozos si 

1.- f  está definida y es continua en todo X E [a,b] salvo en un número finito de puntos Xk para 

k= 1,2...n 

 

2.- Para cada X E [a,b] los limites

3.3 Transformada de Laplace de funciones básicas.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).




Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto

Seno

  

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

NT: en la demostración recordar que e ^{− st} debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite lim(f(t) / e ^{− st},t = 0..infinto) (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo    (que crece más rápido que e ^{− st}) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que ,no es una función de orden exponencial.

Integración

F(w)=(cosw)

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

 
Nota: u(t) es la función escalón unitario


Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Tabla de las transformadas de Laplace selectas


La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace es la de la suma de la transformada de Laplace de cada término.

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 ⁻ , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t).

3.2 Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace.

Condiciones suficientes para la existencia de la transformada de Laplace

Si una función f(t) es continua por partes en [0, ¥) y de orden exponencial a, entonces su transformada de Laplace L{f(t)} existe para s > a



Función continua por partes



Se dice que una función f(t) es continua por partes en un intervalo [a, b] si f(t) es continua en todo el intervalo excepto en algún número finito de puntos.

Condiciones suficientes para la existencia de L {F(t)} No es necesario que con­verja la integral que define a la transformada de Laplace; por ejemplo, ni L {1/t} ni Le^t2} existen. Las condiciones de suficiencia que garantizan la existencia de T{f(t)} son que f sea continua por tramos en [0, 00), y que f sea de orden exponencial cuando t > T. Recuérdese qué una función es continua por tramos en si, en cualquier intervalo 0 <_ a <_ t:5 b hay, cuando mucho, una cantidad finita de puntos en los cuales f tiene discontinuidades finitas y es continua en todo intervalo abierto A continuación definiremos el concepto de orden exponencial.

Orden exponencial

Se dice que una función f es de orden exponencial c si existen constantes c, tales que 1 f(t)j ≤  Me` para todo t > T.

Si f es una función creciente, la condición Jf(t)J < Mec ,t > T tan sólo expresa que la gráfica de f en el intervalo (T, oo) no crece con más rapidez que la gráfica de la función exponencial Me^ct, donde c es una constante positiva (Fig. 7.3). Las funciones f(t) = t, f(t) = e –^t  y f(t) = 2 cos t son de orden exponencial c = 1, para t  > 0 porque, respectivamente

En la figura 7.4 se comparan las gráficas en el intervalo [0, oo).

Una función como f(t) = e^t2 no es de orden exponencial porque, como vemos en la figura 7.5, su gráfica crece más rápido que cualquier potencia lineal positiva de e en t > c > 0.

Una potencia entera positiva de t siempre es de orden exponencial porque, cuando c > 0,

equivale a demostrar que es finito para n = 1, 2, 3, . . . El resultado se obtiene con n aplicaciones de la regla de L'Hópital.

 

Una función f(t) es continua por partes en [0, ¥) si f(t) es continua por partes en el intervalo [0, N] para todo N > 0





Función de orden exponencial



Se dice que una función f(t) es de orden exponencial si la igualdad



Se cumple para al menos un valor de s. Se dice también que el orden a de la función exponencial es el menor valor de s que cumple con (A)

Geométricamente una función de orden exponencial es aquella que NO crece más rápido que una función eat

http://www.slideshare.net/chelo1228/transformada-de-laplace-5076296

3.1   DEFINICION  DE  LA  TRASFORMADA  DE  LAPLACE

La transformada de Laplace es una herramienta de gran alcance formulada para solucionar una variedad amplia de problemas del inicial-valor. La estrategia es transformar las ecuaciones diferenciales difíciles en los problemas simples de la álgebra donde las soluciones pueden ser obtenidas fácilmente. Entonces se aplica La transformada inversa de Laplace para recuperar las soluciones de los problemas originales.

Es un procedimiento desarrollado por el matemático y astrónomo francés Pierre Simón Marques de Laplace (1749 - 1827) que permite cambiar funciones de la variable del tiempo t a una función de la variable compleja s.

Las características fundamentales de la transformada de Laplace son:

·         Es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.

·         Las funciones senoidales, senoidales amortiguadas y exponenciales se pueden convertir en funciones algebraicas lineales en la variable S.

·         Sirve para reemplazar operaciones como derivación e integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo de la variable S.

·         Este método permite usar técnicas gráficas para predecir el funcionamiento de un sistema sin necesidad de resolver el sistema de ecuaciones diferenciales correspondiente

LA TRANSFORMADA DE LAPLACE  

El Método de la transformada de Laplace es un método operacional que puede usarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales. Con el uso de la transformada de Laplace muchas funciones sinusoidales y exponenciales, se pueden convertir en funciones algebraicas de una variable compleja s, y reemplazar operaciones como la diferenciación y la integración, por operaciones algebraicas en el plano complejo.

Definimos:

f(t) = una función de tiempo t tal que f(t) = 0 para t > 0. Sea f(t) definida en ( 0,¥). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t)] = F(s), definida por la integral.

s = una variable compleja. El parámetro s se considerará real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

L = un símbolo operacional que indica que la cantidad a la que precede debe transformarse por la integral de Laplace