3.4 Transformada de Laplace de Funciones Definidas Por Tramos

COMPORTAMIENTO DE F(S) CUANDO               S es infinita

Si f es continua por partes en  y de orden exponencial y

 MÉTODO DE SOLUCIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA FUNCIÓN CONTINUA POR PARTES

SOLUCIÓN: La función f mostrada en la figura 7.6, es continua por partes, y de orden exponencial para t>0. Puesto que f se define en dos partes  

Esto se expresa como la suma de dos integrales de la siguiente manera:

Como la transformada de Laplace se define en términos de una integral impropia que puede   ser divergente, existen funciones para las cuales no existe dicha transformada, incluso hay funciones discontinuas. 

Decimos que una función    f : [a,b] -->    R    es continua a trozos si 

1.- f  está definida y es continua en todo X E [a,b] salvo en un número finito de puntos Xk para 

k= 1,2...n 

 

2.- Para cada X E [a,b] los limites

3.3 Transformada de Laplace de funciones básicas.

Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:

La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante que depende del comportamiento de crecimiento de f(t).




Propiedades

Potencia n-ésima

Nota: en la demostración aparece la función Gamma, tener presente esto

Seno

  

Coseno

Seno hiperbólico

Coseno hiperbólico

Logaritmo natural

Raíz n-ésima

Función de Bessel de primera clase

Función modificada de Bessel de primera clase

Función de error

Derivación

NT: en la demostración recordar que e ^{− st} debe crecer más rápidamente que la función, y así calcular su límite lim(f(t) / e ^{− st},t = 0..infinto) (el cual seria cero, sino no habría como calcular) es por esto que funciones del tipo    (que crece más rápido que e ^{− st}) no pueden ser obtenidas por Laplace, ya que ,no es una función de orden exponencial.

Integración

F(w)=(cosw)

Desplazamiento de la frecuencia

Desplazamiento temporal en t

 
Nota: u(t) es la función escalón unitario


Desplazamiento potencia n-ésima

Convolución

Transformada de Laplace de una función con periodo p

Tabla de las transformadas de Laplace selectas


La siguiente tabla provee la mayoría de las transformaciones de Laplace para funciones de una sola variable.

Debido a que la transformada de Laplace es un operador lineal:

La transformada de Laplace es la de la suma de la transformada de Laplace de cada término.

La transformada de Laplace es únicamente válida cuando t es mayor a 0 ⁻ , lo que explica por qué en la tabla de abajo todo es multiplo de u(t).